Imagen de las funciones potenciales

Para continuar con este tema, primero recordaremos el concepto de dominio e imagen en una función.

Dominio: es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable x.

Imagen: es el conjunto de todos los valores que resultan de aplicar la función, es decir, es el recorrido de la variable y.

En las funciones potenciales, el dominio es , y la imagen la analizaremos a continuación.

Si observamos el gráfico, podemos ver que la imagen de la función potencial par depende del signo del coeficiente.

Entonces,

• Si el coeficiente es +. Im = (0;∞)
• Si el coeficiente es -. Im = (-∞ ;0)

Por último, vemos qué ocurre en el caso de una función potencial impar:

• La imagen de este tipo de funciones es Im = .

Funciones potenciales

Los monomios están asociados a una función llamada potencial, de la forma:

f ( x ) = a .  xⁿ 

donde a es un numero real y n un numero natural. 

Para poder graficar estas funciones  podemos armar una tabla de valores como lo hacemos a continuación,

Como podemos observar, al graficar funciones potenciales de coeficiente a=1 y de grado mayor que uno, podemos clasificarlas en: exponente impar y las de exponente par.

A continuación haremos un análisis de qué ocurre en cada caso.

• Los gráficos de las funciones potenciales de exponente par son simétricos con respecto al eje Y, mientras que los gráficos de las funciones potenciales de exponente impar son simétricos con respecto al punto X.
• En ambos casos, si a es positivo, el gráfico de g (x) = a xⁿ  ocupa los mismos cuadrantes  que f (x) = xⁿ. 
• En ambos casos si a es negativo, el gráfico de g (x) = xⁿ  ocupa los otros dos cuadrantes que no ocupa f (x) = xⁿ.
• Esta vez, consideremos que estas dos funciones son de igual exponente:

                              A (x) = axⁿ              B (x) = bxⁿ

Si │a│ es mayor que │b│, entonces el gráfico de A (x) estará más cerca del eje y, que el de B (x).

• Ahora observemos el siguiente gráfico de  f (x) = x⁶. Como es simétrico con respecto al eje y, ocurre que f (1) = f (-1).

Haciendo el cálculo vemos que es cierto: 

X⁶  =  (-1)⁶  = 1

¿Cuándo una función es par?               

Una función es par cuando, para             todo valor de x perteneciente a su          dominio, se cumple que

(f) x = (f) -x 

Como decíamos anteriormente, el gráfico de una función par es simétrico con respecto al eje y. Observen ahora, el gráfico:

Es simétrico al punto 0, es decir la rama izquierda es simétrica de la rama derecha, pero a la vez esta invertida con respecto al eje x.
Así ocurre que f (1) y f (-1) son iguales en módulo, pero de opuesto signo.
Lo comprobamos haciendo el cálculo:
f (1) = (-1)3 = -1             y                 f (-1) = 13 = 1

Es decir, para poder plantear esta igualdad, debemos modificar el signo.
Lo mismo ocurriría para cualquier valor de x.

¿Cuándo una función es impar?                                                                     

Una función f (x) es impar cuando, para todo valor de x perteneciente a su dominio,     

 se cumple que -f (x) = f (-x).                                                                                      

Monomios

      Los monomios son expresiones algebraicas de la forma: 

M  ( x )  =  a .  xⁿ

• ^{a es un numero real, llamado coeficiente}
• ^{x es la indeterminada} 
• ^{n es un numero natural}

Si a es distinto de 0, entonces n es el exponente o grado del monomio.

Si a es igual a 0, el monomio no tiene grado.

A partir de esto podemos deducir cuando una expresión es monomio o no: 

Por ejemplo, la expresión 5x³ es un monomio ya que cumple con las dos características:

1. el coeficiente es un numero real (-5)
2. el grado es un numero natural (3)

Por lo contrario, podemos decir que la expresión 5x^1/3   no es un monomio ya que solo cumple con una característica: 

1. el coeficiente es un numero real (5) 
2. el grado NO es un numero natural (1/3)

Decimos que un monomio es mónico cuando su coeficiente es 1. 

Por ejemplo, G ( x ) = x⁶ es un monomio mónico; pero, F ( x ) = -x⁶ no lo es porque su coeficiente es -1.